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《圆和圆的位置关系最新2篇》

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1、教材分析  (1)知识结构下面是小编精心为大家整理的圆和圆的位置关系最新2篇,在大家参照的同时,也可以分享一下给您最好的朋友。

探究活动 篇1

问题1:已知AB是⊙O的直径,点O1、O2、…、On在线段AB上,分别以O1、O2、…、On为圆心作圆,使⊙O1与⊙O内切,⊙O2与⊙O1外切,⊙O3与⊙O2外切,…,⊙On与⊙On-1外切且与⊙O内切.设⊙O的周长等于C,⊙O1、⊙O2、…、⊙On的周长分别为C1、C2、…、Cn

(1)当n=2时,判断Cl+C2与C的大小关系;

(2)当n=3时,判断Cl+C2+ C3与C的大小关系;

(3)当n取大于3的任一自然数时,Cl十C2十…十Cn与C的大小关系怎样?证明你的结论.

提示:假设⊙O、⊙O1、⊙O2、…、⊙On的半径分别为r、rl、r2、…、rn,通过周长计算,比较可得(1)Cl+C2=C;(2)Cl+C2+ C3=C;(3)Cl十C2十…十Cn=C.

问题2:有八个同等大小的圆形,其中七个有阴影的圆形都固定不动,第八个圆形,紧贴另外七个无滑动地滚动,当它绕完这些固定不动的圆形一周,本身将旋转了多少转?

提示:1、实验:用硬币作初步实验;结果硬币一共转了4转.

2、分析:当你把动圆无滑动地沿着 圆周长的直线上滚动时,这个动圆是转 转,但是,这个动圆是沿着弧线滚动,那么方才的说法就不正确了.在我们这个题目中,那动圆绕着相当于它的圆周长的 的弧线旋转的时候,一共走过的不是 转;而是 转,因此,它绕过六个这样的弧形的时,就转了 转

课时 圆和圆的位置关系 篇2

教学目标

1.掌握圆与圆的五种位置关系的定义、性质及判定方法;两圆连心线的性质;

2.通过两圆的位置关系,培养学生的分类能力和数形结合能力;

3.通过演示两圆的位置关系,培养学生用运动变化的观点来分析和发现问题的能力.

教学重点

两圆的五种位置与两圆的半径、圆心距的数量之间的关系.

教学难点

两圆位置关系及判定.

一)复习、引出问题

1.复习:直线和圆有几种位置关系?各是怎样定义的?

(教师主导,学生回忆、回答)直线和圆有三种位置关系,即直线和圆相离、相切、相交.各种位置关系是通过直线与圆的公共点的个数来定义的

2.引出问题:平面内两个圆,它们作相对运动,将会产生什么样的位置关系呢?

二)观察、分类,得出概念

1、让学生观察、分析、比较,分别得出两圆:外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆)这五种位置关系,准确给出描述性定义:

(1)外离:两个圆没有公共点,并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外离.(图(1))

(2)外切:两个圆有唯一的公共点,并且除了这个公共点以外,每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点.(图(2))

(3)相交:两个圆有两个公共点,此时叫做这两个圆相交.(图(3))

(4)内切:两个圆有唯一的公共点,并且除了这个公共点以外,一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点.(图(4))

(5)内含:两个圆没有公共点,并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内含(图(5)).两圆同心是两圆内含的一个特例.  (图(6))

2、归纳:

(1)两圆外离与内含时,两圆都无公共点.

(2)两圆外切和内切统称两圆相切,即外切和内切的共性是公共点的个数唯一

(3)两圆位置关系的五种情况也可归纳为三类:相离(外离和内含);相交;相切(外切和内切).

教师组织学生归纳,并进一步考虑:从两圆的公共点的个数考虑,无公共点则相离;有一个公共点则相切;有两个公共点则相交.除以上关系外,还有其它关系吗?可能不可能有三个公共点?

结论:在同一平面内任意两圆只存在以上五种位置关系.

(三)分析、研究

1、相切两圆的性质.

让学生观察连心线与切点的关系,分析、研究,得到相切两圆的连心线的性质:

如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上.

这个性质由圆的轴对称性得到,有兴趣的同学课下可以考虑如何对这一性质进行证明

2、两圆位置关系的数量特征.

设两圆半径分别为R和r.圆心距为d,组织学生研究两圆的五种位置关系,r和d之间有何数量关系.(图形略)

两圆外切 d=R+r;

两圆内切 d=R-r (R>r);

两圆外离 d>R+r;

两圆内含 d<R-r(R>r);

两圆相交 R-r<d<R+r.

说明:注重“数形结合”思想的教学.

(四)应用、练习

例1:  如图,⊙O的半径为5厘米,点P是⊙O外一点,OP=8厘米

求:(1)以P为圆心作⊙P与⊙O外切,小圆⊙P的半径是多少?

(2)以P为圆心作⊙P与⊙O内切,大圆⊙P的半径是多少?

解:(1)设⊙P与⊙O外切与点A,则

PA=PO-OA

∴PA=3cm.

(2)设⊙P与⊙O内切与点B,则

PB=PO+OB

∴PB=1 3cm.

例2:已知:如图,△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=8,以AC为直径作⊙O,以B为圆心,4为半径作.

求证:⊙O与⊙B相外切.

证明:连结BO,∵AC为⊙O的直径,AC=12,

∴⊙O的半径 ,且O是AC的中点

∴ ,∵∠C=90°且BC=8,

∴ ,

∵⊙O的半径 ,⊙B的半径 ,

∴BO= ,∴⊙O与⊙B相外切.

 练习(P138)

(五)小结

知识:①两圆的五种位置关系:外离、外切、相交、内切、内含;

②以及这五种位置关系下圆心距和两圆半径的数量关系;

③两圆相切时切点在连心线上的性质.

能力:观察、分析、分类、数形结合等能力.

思想方法:分类思想、数形结合思想.

(六)作业

教材P151中习题A组2,3,4题.

第二课时 相交两圆的性质

教学目标

1、掌握相交两圆的性质定理;

2、掌握相交两圆问题中常添的辅助线的作法;

3、通过例题的分析,培养学生分析问题、解决问题的能力;

4、结合相交两圆连心线性质教学向学生渗透几何图形的对称美.

教学重点

相交两圆的性质及应用.

教学难点

应用轴对称来证明相交两圆连心线的性质和准确添加辅助线.

教学活动设计

一)图形的对称美

相切两圆是以连心线为对称轴的对称图形.相交两圆具有什么性质呢?

二)观察、猜想、证明

1、观察:同样相交两圆,也构成对称图形,它是以连心线为对称轴的轴对称图形.

2、猜想:“相交两圆的连心线垂直平分公共弦”.

3、证明:

对A层学生让学生写出已知、求证、证明,教师组织;对B、C层在教师引导下完成.

已知:⊙O1和⊙O2相交于A,B.

求证:Q1O2是AB的垂直平分线.

分析:要证明O1O2是AB的垂直平分线,只要证明O1O2上的点和线段AB两个端点的距离相等,于是想到连结O1A、O2A、O1B、O2B.

证明:连结O1A、O1B、 O2A、O2B,∵O1A=O1B,

∴O1点在AB的垂直平分线上.

又∵O2A=O2B,∴点O2在AB的垂直平分线上.

因此O1O2是AB的垂直平分线.

也可考虑利用圆的轴对称性加以证明:

∵⊙Ol和⊙O2,是轴对称图形,∴直线O1O2是⊙Ol和⊙O2的'对称轴.

∴⊙Ol和⊙O2的公共点A关于直线O1O2的对称点即在⊙Ol上又在⊙O2上.

∴A点关于直线O1O2的对称点只能是B点,

∴连心线O1O2是AB的垂直平分线.

定理:相交两圆的连心线垂直平分公共弦.

注意:相交两圆连心线垂直平分两圆的公共弦,而不是相交两圆的公共弦垂直平分两圆的连心线.

三)应用、反思

例1、已知两个等圆⊙Ol和⊙O2相交于A,B两点,⊙Ol经O2

求∠OlAB的度数.

分析:由所学定理可知,O1O2是AB的垂直平分线,

又⊙O1与⊙O2是两个等圆,因此连结O1O2和AO2,AO1,△O1AO2构成等边三角形,同时可以推证⊙Ol和⊙O2构成的图形不仅是以O1O2为对称轴的轴对称图形,同时还是以AB为对称轴的轴对称图形.从而可由

∠OlAO2=60°,推得∠OlAB=30°.

解:⊙O1经过O2,⊙O1与⊙O2是两个等圆

∴OlA= O1O2= AO2

∴∠O1A O2=60°,

又AB⊥O1O2

∴∠OlAB =30°

例2、已知,如图,A是⊙Ol、⊙O2的一个交点,点P是O1O2的中点。过点A的直线MN垂直于PA,交⊙Ol、⊙O2于M、N。

求证:AM=AN.

证明:过点Ol、O2分别作OlC⊥MN、O2D⊥MN,垂足为C、D,则OlC∥PA∥O2D,且AC=AM,AD=AN.

∵OlP= O2P ,∴AD=AM,∴AM=AN.

例3、已知:如图,⊙Ol与⊙O2相交于A、B两点,C为⊙Ol上一点,AC交⊙O2于D,过B作直线EF交⊙Ol、⊙O2于E、F.

求证:EC∥DF

证明:连结AB

∵在⊙O2中∠F=∠CAB,

在⊙Ol中∠CAB=∠E,

∴∠F=∠E,∴EC∥DF.

反思:在解有关相交两圆的问题时,常作出连心线、公共弦,或连结交点与圆心,从而把两圆半径,公共弦长的一半,圆心距集中到一个三角形中,运用三角形有关知识来解,或者结合相交弦定理,圆周角定理综合分析求解.

四)小结

知识:相交两圆的性质:相交两圆的连心线垂直平分公共弦.该定理可以作为证明两线垂直或证明线段相等的依据.

能力与方法:①在解决两圆相交的问题中常常需要作出两圆的公共弦作为辅助线,使两圆中的角或线段建立联系,为证题创造条件,起到了“桥梁”作用;②圆的对称性的应用.

(五)作业  教材P152习题A组7、8、9题;B组1题.